脑洞大开的微积分

能翻开这本书的大多数人，想必对数学都有浓厚的兴趣。现在有很多年轻人都在学习奥数，然而除去奥数在升学中的加分，他们对数学的挚爱又有多少呢？最近，当我逛书店的时候，余光所及的几排书架上全部都是有关数学的书籍，从小学数学辅导到考研数学模拟题应有尽有。当我取下一本的时候，里面枯燥乏味的证明过程让我的心瞬间凉了一半。那些数学带给我的快乐仿佛一下子消散了。现在的中学数学教科书几乎都是为考试而编写的。
在今年的寒假，我一直在给很多孩子做答疑。绝大多数孩子还是在问我各自所在年级的数学题，而有几个今年即将参加高考的孩子引起了我的特别注意。其中有一个孩子到期末考试的时候，数学还没有及格。我听到他一直在抱怨自己数学底子薄，不擅长学理工科。我像往常那样安慰他、鼓励他，同时也不得不告诉这个孩子，哪个知识点往常都出了什么样的题型，这类题应该怎么做，怎么复习，等等。可以预见的是，等到高考以后，他就会完全忘记学到的数学知识。他只会记得数学是一门令他头疼的课程，还有一个喋喋不休的数学老师。
不过，当你阅读这本书的时候，魔王一样的数学就会和你成为朋友了。那时，你也将会拥有那些生活中由数学带来的快乐和美好的记忆。同时，这本书把那些冗长而无趣的证明过程都换成了更接地气的生活中的常见现象。所以它很适合你在碎片时间阅读。
此外，这本书开创了一种新的高等数学讲解方法。通过十个生活中常见的示例，你就可以掌握相当于大学本科水平的数学知识。但是，我们并没有涉及那些繁杂又毫无用途的证明过程。所以，这本书是学习数学的一条捷径。
冯·诺依曼曾说过：“如果人们不相信数学是简单的，只是因为他们还没有体会到生活的复杂。”如果你认为生活中的柴米油盐要比数学还要简单的话，只可能是你没有掌握学习数学的方法。
所以读者朋友们，不要一看见数学就觉得头疼。实际上学习微积分不需要很高深的数学知识，可以说微积分和我们在中学时代学习的数学差不多；只需要会加减乘除，并且学会怎么求一些简单的几何图形的面积，就完全可以跟着这本书学懂微积分。
数学是有趣的。从斐波那契的兔子问题到“猴子也能写出莎翁的《罗密欧与朱丽叶》”的无穷猴子悖论，再从莱布尼茨和牛顿的微积分到神奇的莫比乌斯带，都诠释出了数学的无穷乐趣。就如同微分几何之父陈省身教授生前所说过的那样——数学好玩。
中国人自古以来就有“尚用”的精神，即“什么有用干什么，什么有用学什么”。而数学就是最有用的东西之一。你可能会说：“数学怎么可能会在生活中有用呢？我生活中最多也就是加减乘除，那些高深的定理公式和我有什么关系？”相信当你读完这本书的时候就会发现，学数学像吃饭：你过去吃了什么你可能不记得了，但是它们中的一些长成了你身体的一部分；学数学也是一样，学了什么定理你可能不记得了，但是它背后的思想会变成你灵魂的一部分。有不少人这样问过我：“怎么能最快速提高自身整体气质？”“怎样能锻炼一个好脾气？”我的回答都是：“那就学数学吧！”
在现在鱼龙混杂的网络世界中，数学可以借你一双慧眼识破谣言，解密真相；在竞争激烈的职场中，数学是你专业的敲门砖。如果你坚持认为只要掌握加减乘除就足以应付日常生活琐事的话，那么这本书将会颠覆你这一想法；如果你认为数学枯燥无趣的话，这本书也将会一改你对数学的印象。
本书全部内容由刘祺编写。其中，特别感谢谭宽先生对第10章中涉及的医学知识的详细说明，也要感谢魏少华先生和周虎先生为本书作序，还要感谢在本书背后默默奉献的编辑，以及在本书创作期间给予帮助的前辈、同行、朋友。
我相信，读完这本书你会发现，原本数学里那些让人云里雾里的名词，实际上都是一碰就倒的“纸老虎”而已。
限于笔者水平和时间仓促的缘故，书中不免存在不严谨和疏漏之处，还请广大读者批评指正。

编者

刘祺，2004年成为程序员，曾参与多篇外文学术文献的翻译工作。目前是图形图像程序员、独立黑客、数学达人。热心的开源社区志愿者，并为Rust程序设计语言和Servo提供中文本土化页面，参与了《Rust程式语言》一书的翻译工作。撰写了《椭圆面积公式推导方法比较》《人肉挑战欧拉计划》《除了吃以外的世界：舌尖上的数学》等广受好评的文章。目前在个人公众号上连载《磨磨叽叽的C语言：C语言入门到精通》。

本书主要是面向青少年和本科经济类学生的自学教程。也可以作为面向大众的科普读物。本书中的趣味阐述使得微积分简单易学，并且涉及重要极限、中值定理、微分方程等微积分中核心概念。贴近我国读者的现实生活和考试文化。

第1章缩印需要多少纸1
1.1打印店情景重现2
1.2打印店中的函数和映射2
1.3精通多元函数的慷慨老板8
1.4花哨小店与集合论10
1.5圆珠笔到底是笔还是塑料14
第2章火车与春运21
2.1从春运说起22
2.2从行车轨迹到函数图像22
2.3火车与对称29
2.4数列的极限31
2.5巴塞尔问题32
2.6两个重要极限之一33
2.7无穷小的比较35
2.8两个重要极限之二37
2.9重要极限为何重要39
第3章计算面团的大小45
3.1厨房数学二三事46
3.2建立数学模型46
3.3假说演绎法47
3.4直觉和运气49
3.5面团的模型50
3.6导数公式52
3.7导数公式推导示例54
3.8导数的运算法则55
3.9再战！复合函数56
3.10反函数与反函数求导57
3.11中文房间与黑箱模型59
第4章弹珠的运动63
4.1拨开历史的迷雾64
4.2导数存在的准则64
4.3罗尔定理66
4.4拉格朗日中值定理68
4.5伽利略的困惑69
4.6泰勒展开70
4.7泰勒其人其事73
第5章股市的预测79
5.1证券交易市场的起起落落80
5.2曲线的拟合80
5.3再探函数81
5.4一般的直线和竖直线82
5.5圆84
5.6从圆到椭圆85
5.7三次样条线87
5.8函数的单调性和驻点89
5.9极值点91
5.10更好的股票：凸凹性93
第6章桥洞的设计101
6.1从赵州桥说起102
6.2另外的拟合102
6.3初识积分表104
6.4模块化的思维与不定积分定义推广105
6.5积分公式证明107
6.6积分表再扩展108
第7章做一件大褂需要多少布121
7.1DIY的潮流122
7.2再探不定积分122
7.3常数C可写可不写吗124
7.4从不定积分到定积分125
7.5加法的方向129
7.6过去的面积公式131
7.7高观点下的面积公式132
7.8再探圆和椭圆133
7.9神奇的直角三角形135
7.10“万变不离其宗”的四边形140
7.11曲边梯形的面积144
第8章包饺子需要多少馅147
8.1多包一些还是少包一些148
8.2从圆面积到圆周长148
8.3弧长公式150
8.4弧长公式的检验151
8.5表面积153
8.6高观点下的体积公式154
8.7再探表面积155
8.8计算的误区155
8.9重积分初探156
8.10馅少了怎么办157
第9章选购鱼缸161
9.1养鱼的学问162
9.2水压的计算162
9.3从数学到物理163
9.4变力做功164
第10章模拟确定急诊方案167
10.1酒精中毒引关注168
10.2从开普勒到微分方程168
10.3初探微分方程169
10.4齐次方程170
10.5一阶线性方程171
10.6微分方程模型172
后记175
附录1本书使用的符号体系177
附录2常用公式及其证明178
附录3积分表190
附录4多元函数的微积分简介204
参考文献206