基于凸理论的非线性分析基础

非线性数学，就是用非线性数学理论和方法来研究非线性现象、解决非线性问题的数学理论体系，是研究非线性科学一般规律的基础理论和数学工具。而非线性分析则是其重要的一个分支，是现代数学中的重要研究方向之一。近年来，随着我国科技力量的日益增强，各个领域都急需要培养新型、顺应时代发展的人才。对非线性分析的学习已不仅仅局限于专门从事非线性分析中某一方面的工作人员，非线性分析的书籍也日益增多。
凸理论是非线性分析的基础理论，而有关凸性的某些结果可追溯到18世纪中期，但近代的所谓凸分析却是20世纪初由H.Minkowski等人创建。一直到20世纪中叶，由于最优化理论等的发展，凸分析理论也逐渐受到大家的重视。当然，凸理论不仅是非线性规划、最优化理论、微分几何等课程的基础理论，也是Banach代数、非线性泛函分析等课程的基础理论。正如大家所公认的，泛函分析成为一门学科，对变分学和变分方法的发展起着重要的作用；拓扑学方法及其成就、不动点即拓扑度理论，乃至解析方法也即如此。
本书在凸理论内容的基础上系统介绍了非线性泛函分析的基础知识。第一章是凸理论基础内容，主要包括凸集、凸函数和凸锥，其相关结论为后续内容的学习提供了强有力的理论基础和基本方法。在讨论空间的自反性、最佳逼近的唯一性和有界线性泛函“保范延拓”的唯一性等问题中往往要对线性赋范空间提出一些特殊的要求。第二章介绍线性赋范空间在满足不同的条件下，分为三大类凸空间(一致凸空间、平性凸空间和严格凸空间)。其中，一致凸空间必然是严格凸空间，但反之不成立；而严格凸空间一定不是平性凸空间，但非严格凸空间一定是平性凸空间。第三章介绍锥理论与半序关系，由锥P在实Banach空间中引入半序关系。着重讨论锥的基本性质，包括正规锥、正则锥和全正则锥、极小锥和强极小锥、再生锥和对偶锥的定义及其相互关系和相关结论。第四章介绍了利用半序方法和拓扑度理论讨论非线性算子的不动点结论，在完全不考虑算子的紧性或连续性的条件下得到增算子、减算子和凹凸算子的若干不动点定理，甚至在完全不考虑连续性的条件下，通过构造一个全序的子列得到变序算子的不动点存在性及其相应的收敛速率。
限于水平，书中不妥之处在所难免，敬请广大读者指正。

本书介绍了凸理论的基础内容，即凸集、凸函数和凸锥；重点说明了线性赋范空间的凸性；阐述了非线性分析中的锥理论与半序关系；最后介绍了非线性算子满足的不动点相关结论及其部分应用推广。本书把凸理论与非线性泛函分析的内容相结合，清楚地显示了它们各自的研究范畴、主要结论及相互联系，帮助对这两类知识相互交融的理解与贯通认识。本书可作为高校数学及相关专业教师、大学生和研究生等的参考读物。

第1章凸理论1
1.1凸集1
1.2凸函数13
1.3凸锥26

第2章赋范空间的凸性31
2.1线性赋范空间31
2.2一致凸空间38
2.3平性凸空间49
2.4严格凸空间51

第3章锥理论与半序关系64
3.1正规锥64
3.2正则锥和全正则锥73
3.3极小锥和强极小锥82
3.4再生锥和对偶锥90

第4章非线性算子的不动点119
4.1增算子的不动点119
4.2减算子的不动点133
4.3凹算子和凸算子的不动点160
4.4多个不动点的存在性178

参考文献189